2026-03-10 数学测试分析：一元二次方程利润问题
2026-03-10 数学测试分析：一元二次方程利润问题
题目内容 (OCR提取)
某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。 (1) 如果商场希望半个月内获利4000元，同时又为了让利于顾客，那么销售单价应定为多少元？ (2) 商场能否在半个月内获利6000元？如果不可以，请说明理由。
标准解题思路与过程
考点：一元二次方程在实际生活（利润问题）中的综合应用。 核心公式：总利润 = (单件售价 - 单件进价) × 实际销售量
第(1)问解析： 1. 设未知数：设销售单价定为 \(x\) 元。 2. 表示单件利润：单件利润为 \((x - 20)\) 元。 3. 表示实际销量：原价30元，现价 \(x\) 元，涨价了 \((x - 30)\) 元。每涨价1元少卖20件，所以销量减少了 \(20(x - 30)\) 件。实际销售量为 \(400 - 20(x - 30)\) 件，化简为 \((1000 - 20x)\) 件。 4. 列方程：\((x - 20)(1000 - 20x) = 4000\) 5. 解方程：化简得 \(x^2 - 70x + 1200 = 0\)，解得 \(x_1 = 30\), \(x_2 = 40\)。 6. 检验并作答：结合题意“为了让利于顾客”，应选择较低的售价，故舍去40，取 \(x = 30\)。
第(2)问解析： 1. 假设成立并列式：假设能获利6000元，列方程：\((x - 20)(1000 - 20x) = 6000\) 2. 化简方程：整理得 \(x^2 - 70x + 1300 = 0\) 3. 计算判别式：\(\Delta = b^2 - 4ac = (-70)^2 - 4 \times 1 \times 1300 = 4900 - 5200 = -300\) 4. 得出结论：因为 \(\Delta < 0\)，所以方程无实数根，即无论怎么定价都不可能获利6000元。
Andrew的作答结果与评价
Andrew的手写步骤还原： (1) 解：设销售单价应定为x元. \((x-20)[400-20(x-30)] = 4000\) \((x-20)[400-20x+600] = 4000\) \((x-20)(1000-20x) = 4000\) \(1000x - 20x^2 - 20000 + 400x = 4000\) \(-20x^2 + 1400x - 24000 = 0\) \(x^2 - 70x + 1200 = 0\) \((x-30)(x-40) = 0\) \(x_1 = 30, x_2 = 40\) 为了让利于顾客, 取x=30 答：销售单价应定为30元.
(2) 解：不能. \((x-20)[400-20(x-30)] = 6000\) \(-20x^2 + 1400x - 26000 = 0\) \(x^2 - 70x + 1300 = 0\) \(b^2 - 4ac = (-70)^2 - 4 \times 1 \times 1300 = 4900 - 5200 = -300 < 0\) 此方程无实数根. 所以不能获利6000元.
评分：100分 / 满分 🌟
助手评价分析：
- 底层逻辑极其清晰：Andrew的方程设立和化简过程一步不差，条理分明。他没有被繁杂的文字绕进去，而是精准抓住了“利润×销量=总利润”的本质。
- 计算基本功扎实：在处理大系数的二次方程时（如 \(-20x^2 + 1400x - 24000 = 0\)），他能敏锐且准确地提取公因式进行降次化简，展现了极好的数感和做题习惯。
- 审题极其严谨（亮点）：第(1)问中，他准确捕捉到了“让利于顾客”这个隐藏条件，做出了正确的根的取舍（取30舍40）。这是很多学生容易忽略的失分点，体现了他高敏感特质带来的细腻观察力。
- 论证步骤规范：第(2)问熟练运用了根的判别式（\(\Delta\)）来证明无解，有理有据，格式堪称标准答案级别。
教育建议： Andrew在这类应用题上的表现堪称完美！完全不需要额外操心。建议Magritt今晚可以拿着这份解答狠狠地夸奖他一番，重点表扬他“计算细心”和“审题严谨（注意到了让利）”。这种正向反馈对高敏感孩子建立数学自信非常有帮助！