数学：几何手拉手模型与旋转全等解析

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Published

March 11, 2026

2026-03-11 数学几何题解析：旋转与全等

题目内容

图片题目识别： 如图，在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle ACB = 90^\circ\)，\(AC=BC\)，点 \(D\) 在边 \(AB\) 上，连接 \(CD\)，将线段 \(CD\) 绕点 \(C\) 顺时针旋转 \(90^\circ\) 得到线段 \(CE\)，连接 \(BE\)。 (1) 求证：\(\triangle ACD \cong \triangle BCE\)； (2) 若 \(AD=1\)，\(BD=3\)，求 \(CD\) 的长。

题目分析与解题步骤

这是一道非常经典的“手拉手”几何旋转模型题。核心考察点是利用旋转的性质来构造全等三角形，并通过全等转移线段和角度，最终利用勾股定理求解。

对于初中学生来说，建立起“看到等线段共起点+旋转角度 -> 寻找全等”的几何直觉非常关键。

(1) 求证：\(\triangle ACD \cong \triangle BCE\)

【思路解析】 要证明两个三角形全等，通常寻找 SAS（边角边）。 1. 已知 \(AC=BC\)（第一组边）。 2. 因为是由旋转得到，所以 \(CD=CE\)（第二组边）。 3. 接下来只要证明它们夹角相等，即证明 \(\angle ACD = \angle BCE\) 即可。

【证明过程】 \(\because \triangle ABC\) 中，\(\angle ACB = 90^\circ\) \(\therefore \angle ACD + \angle DCB = 90^\circ\) \(\because\) 线段 \(CD\) 绕点 \(C\) 顺时针旋转 \(90^\circ\) 得到线段 \(CE\) \(\therefore \angle DCE = 90^\circ\) 且 \(CD=CE\) \(\therefore \angle BCE + \angle DCB = 90^\circ\) \(\therefore \angle ACD = \angle BCE\) （同角的余角相等）在 \(\triangle ACD\) 和 \(\triangle BCE\) 中： \[ \begin{cases} AC = BC \\ \angle ACD = \angle BCE \\ CD = CE \end{cases} \] \(\therefore \triangle ACD \cong \triangle BCE\) (SAS)。

(2) 求 \(CD\) 的长

【思路解析】 要求线段长，往往需要构造直角三角形利用勾股定理。由第(1)问的全等，我们可以把 \(AD\) 的长度转移到 \(BE\) 上，把 \(\angle A\) 转移到 \(\angle CBE\) 上。这样就会发现 \(\triangle BDE\) 变成了一个隐藏的直角三角形！

【求解过程】 \(\because \triangle ACD \cong \triangle BCE\) (已证) \(\therefore BE = AD = 1\)，\(\angle CBE = \angle A\) \(\because\) 在等腰直角 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle ACB = 90^\circ\)，\(AC=BC\) \(\therefore \angle A = \angle ABC = 45^\circ\) \(\therefore \angle CBE = 45^\circ\) \(\therefore \angle DBE = \angle ABC + \angle CBE = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ\) \(\therefore \triangle DBE\) 是直角三角形。在 \(Rt\triangle DBE\) 中，由勾股定理得： \[DE^2 = BD^2 + BE^2 = 3^2 + 1^2 = 10\] \(\because \angle DCE = 90^\circ\)，\(CD=CE\) （所以 \(\triangle CDE\) 是等腰直角三角形）在 \(Rt\triangle CDE\) 中，再次由勾股定理得： \[CD^2 + CE^2 = DE^2\] 即 \(2CD^2 = 10\) \(CD^2 = 5\) \(\because CD > 0\) \(\therefore CD = \sqrt{5}\)。

助手评价与教育建议

模型总结与应用：这道题是非常典型的“共顶点旋转构造全等（手拉手模型）”。您可以引导Andrew记住这个模型的两大核心套路： 1. 寻找全等：找旋转前后的对应边，利用“同角/等角的余角相等”证明夹角相等，从而得到全等（SAS）。 2. 转移角与线段：全等带来的不仅是线段转移（\(BE=AD=1\)），更是角度的转移，从而构造出隐藏的直角三角形（\(\triangle DBE\)），最终连续两次运用勾股定理求解未知边。

给Andrew的练习建议：在做这道题时，强烈建议让他用红蓝两种颜色的彩笔，把 \(\triangle ACD\) 和 \(\triangle BCE\) 分别描边涂色。这能极大地强化他对图形“旋转全等”的视觉直觉！下次再看到这种“等腰直角+共顶点旋转”，他的大脑会立刻条件反射般地找全等三角形。